Introdução ao Cálculo Proposicional

Nesse artigo você encontra uma introdução rápida ao Cálculo Proposicional e alguns termos importantes para o estudo do assunto.

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Como introduzido no post anterior falando sobre Raciocínio Lógico vamos continuar com os estudos sobre Lógica.

Se você pesquisou sobre a Classificação Lógica ou leu os artigos que deixei no final do post, deve ter visto sobre a Lógica Matemática.

A Matemática falada aqui é voltada para o pensamento do calculo das proposições e não para o famoso 1+1, 1-1, 1*1, 1/1.

Na Lógica Matemática usamos formulas para validar as “premissas” e possuímos uma linguagem para efetuar os cálculos proposicionais.

Calculo Proposicional, Calculo Sentencial ou Calculo das Sentenças é uma das partes indispensáveis da Lógica Matemática.

Vamos conhecer um pouco mais sobre isso.

Proposições

Antes de falar do cálculo propriamente dito, precisamos entender alguns conceitos básicos e conhecer alguns novos termos e um deles é a proposição.

Proposições são sentenças declarativas, afirmativas e que tenham sentido em afirmar que sejam verdadeiras ou falsas. A proposição também pode ser expressada por símbolos, que veremos mais pra frente nesse post.

Ex.:

São frases afirmativas e podem ser classificadas por verdadeiro ou falso.

Imagine:

Outro exemplo seria:

7 + 5 = 10

Isso é uma sentença declarativa e pode receber valor lógico de verdadeiro ou falso.

7 + 5 é igual a 10? (V ou F)

Isso por que não fazemos o calculo de números como na Matemática comum, mas buscamos resultado lógico para a sentença.

Porém:

x + 5 = 10

Não é uma proposição, pois não sabemos o valor de X, então não tem como descobrirmos se o valor lógico dessa sentença é verdadeiro ou falso.

O que não são proposições

Se proposições são sempre sentenças afirmativas. Então, automaticamente eliminamos algumas sentenças dessa categoria, como:

Princípios sobre as proposições

Alguns princípios básicos que regem as proposições, são:

Princípio da Identidade: Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira possibilidade Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente

Proposição simples e compostas

As proposições ainda podem ser classificadas em:

Proposição simples: que são representadas de forma única.

Ex: O cachorro é um mamífero

Proposição composta: que são formadas por um conjunto de proposições simples, ( duas ou mais proposições simples ligadas por “conectivos lógicos”).

Ex.: Brasília é a capital do Brasil ou Lima é a capital do Peru

Com essa pequena introdução do que são proposições simples e compostas começamos a esbarrar em uma coisa chamada conectivos lógicos.

Símbolos da linguagem do Cálculo Proposicional e Conectivos Lógicos

Antes de falar dos Conectivos Lógicos, vamos falar dos Símbolos do Cálculo Proposicional para facilitar a escrita dos exemplos. ;)

Dentro da Lógica Proposicional, cada sentença (proposição) pode ser representada por um símbolo chamado variável proposicional. Esses simbolos são letras minúsculas a partir da letra p.

Ex.:

Isso seria para nossas proposições simples. Para proposições compostas, entram nossos simbolos para os conectivos lógicos.

O que são os conectivos lógicos?

São as ligações entre uma proposição simples e outra, assim como aquele ou no exemplo Brasília é a capital do Brasil OU Lima é a capital do Peru.

Os conectivos são: E, OU, SE… ENTÃO, SE E SOMENTE SE e NÃO e são representados pelos símbolos:

^ : E (conjunctos) v : OU (disjunctos) -> : SE… ENTÃO (implicação) <-> : SE E SOMENTE SE (Bi-implicação) ~ : NÃO (negação)

Então conseguimos expressar o exemplo Brasília é a capital do Brasil OU Lima é a capital do Peru da seguinte maneira: p v q

Onde p equivale a “Brasília é a capital do Brasil”, v OU e q é “Lima é a capital do Peru”.

Os simbolos auxiliáres

Assim como na matemática, os cálculos podem começar a ficar mais profundos e chega uma hora que precisamos de simbolos auxiliáres para facilitar um pouco nossa vida.

( ) , parênteses que servem para denotar o “alcance” dos conectivos.

Exemplo:

A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca: ((~p) <-> q)

E os parênteses são usados seguindo a ordem: ~, v, ^, -> e <->

Ou seja, primeiro colocamos parênteses onde tivermos não, depois onde tiver ou e assim por diante.

A lua não¹ é quadrada se e somente se² a neve é branca: ((~p)¹ <-> q)²

E se existirem repetição dos mesmos operadores, adota-se a convenção de começar o cálculo pela direita.

Precedencia dos operadores

Assim como na matemática, no calculo proposicional temos a precedência dos operadores, ou seja, quem resolver primeiro.

Essa ordem da precedência de operadores é:

  1. ~
  2. ^
  3. v
  4. ->
  5. <->

Exemplo: p v q ^ ~ r -> p -> ~ q

Imagine que esse monte de variáveis são várias proposições que podem ser verdadeiras ou falsas.

Como resolver isso?

Com os parênteses: (((p v q) ^ (~r) -> (p -> (~q)))

Primeiro resolvemos (~q) mais a direita, pois, como existem duas negações, adotamos a convenção.

(((p v q) ^ (~r) -> (p -> (~q)))

Em seguida o (~r)

(((p v q) ^ (~r) -> (p -> (~q)))

Depois fazemos (p v q), pois o (~r) isolou o (p v q).

((((p v q) ^ (~r) -> (p -> (~q)))

Em seguida pegamos o resultado de (p v q) e fazemos o ^ com resultado do (~r)

((((p v q) ^ (~r) -> (p -> (~q)))

Agora podemos fazer o -> do resultado de (p v q) ^ (~r) com o resultado de (p -> (~q))

Basicamente vimos várias regras para auxiliar a calcular as proposições e chegar a um resultado de verdadeiro ou falso.

Agora que conhecemos esses símbolos e regras, podemos ver como confirmar o que calculamos com as Tabelas Verdade.

Para isso podemos ver os vídeos a seguir que confirma o que aprendemos e apresenta algumas coisas a mais e as tabelas verdade:

Referências

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